Mathematifche Lehrmittel. 
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würde, und dafs der etwa auftretende Reft nicht von der Form der Zahl, fon- 
dern nur von der Zifferfumme allein abhängig ift, aus welcher gleich bei ihrer 
Bildung (durch das Hinauflegen fämmtlicher Kugeln auf den Einheitenftab) alle 
möglichen 9 ausgefchieden werden können. 
Um das Theilbarkeitsgefetz für den Divifor 11 abzuleiten, laffe der Lehrer 
wieder eine ganz willkürliche Anzahl Kugeln auf die einzelnen Stäbe der Mafchine 
flecken, nehme dann eine Kugel vom dritten (Hunderterflab), lege fie auf den Ein 
heitenflab und frage einen Schüler: Welche Veränderung habe ich dadurch mit 
der vorgelegten Zahl vorgenommen? 
Nachdem diefe Frage von dem Schüler richtig beantwortet und die Ant 
wort begründet wurde, richte er an einen zweiten die Frage: Wurde dadurch der 
etwa vorhandene Refl gegen den Divifor 11 geändert? 
Nach der richtigen Beantwortung diefer Frage lege der Lehrer fämmtliche 
Kugeln des dritten Stabes auf den Einheitenflab. Sollte die Anzahl der Kugeln 
die Zahl 11 überfleigen oder erreichen, fo weife der Lehrer daraufhin, dafs man 
auch hier je 11 Kugeln weglaffen kann und blos den Refl zu berückfichtigen hat. 
Hierauf nehme er eine Kugel vom fünften Stabe und lege fie auf den erflen 
(Einheitenftab) und wiederhole diefelben Fragen. Das gleiche Verfahren ift mit 
den Kugeln am 7., 9. u. f. w. Stabe fortzufetzen. 
Nun nehme der Lehrer eine Kugel vom vierten Stabe (Taufenderftab), lege 
fie auf den zweiten (Zehnerftab), wiederhole die vorigen Fragen, und lege fämmt 
liche Kugeln des vierten Stabes auf den zweiten. Ebenfo verfahre er mit fämmt- 
lichen Kugeln des 6., 8. u. f. w. Stabes, auch hier alle Vielfachen von 11 aus- 
fcheidend.* 
Durch diefen Vorgang wird die Beftimmung des Reftes einer beliebig 
grofsen Zahl auf die Auffuchung des Reftes einer zweizifferigen Zahl zurückgeführt. 
Da aber allen zweizifferigen, durch 11 theilbaren Zahlen die Eigenfchaft zukommt, 
dafs fie mit zwei gleichen Ziffern gefchrieben werden, fo wird der fprachgewandte 
Schüler leicht im Stande fein, das refultirende Theilbarkeitgefetz in Worten aus 
zudrücken. 
Die fo gewonnene zweiziffrige Zahl gibt uns aber auch ftets den kleinften 
pofitiven Reft, welchen die vorgelegte Zahl gegen den Divifor 11 hinterläfst, was 
bei den bis jetzt in den mathematifchen Lehrbüchern durchgeführten Methoden 
nicht immer der Fall ift. 
Die Kenntnifs des kleinften pofitiven Reftes gegen die Diviforen 9 und 11 
ift jedoch fowohl für die Theorie als auch für die Praxis fehr wichtig, da wir mit 
Hilfe derfelben die Richtigkeit unferer Rechnungen bei der Multiplication, Divi- 
fion, beim Potenziren und Wurzelausziehen dekadifcher Zahlen auf eine höchft 
einfache und fchnelle Weife einer Prüfung unterwerfen können. Durch die voraus- 
gefchickten Betrachtungen wurden wir in den Stand gefetzt, den kleinften pofiti 
ven Reft für den Divifor 11 ebenfo leicht, wie für den Divifor 9 zu beftimmen, 
und können nach Belieben die Neuner oder Elferprobe anwenden. Da jedoch 
jede Probe, für fich allein angewendet, keine mathematifche Gewifsheit der Rich 
tigkeit des Refultates gibt, fo gewinnt durch die Verbindung beider Proben 
unfer praktifches Rechnen einen hohen Grad von Sicherheit. Profeffor Dr. Eduard 
Heis, welcher fich durch feine vorzügliche Sammlung von Beifpielen und Auf 
gaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra fehr wefentliche Verdienfte 
um die Verbreitung gediegenen mathematifchen Wiffens in Deutfchland und 
Oefterreich erworben, fagt in der 34. Auflage derfelben, Seite 52: „Die 
* Der allgemeine Beweis befteht in Folgemlem. 
Es fei N = a, -f- ioa 2 -f io 2 a 3 -f io :1 a 4 + +io n "t" ia n, fo mufs 
weil, io 2m d" 1 _ 10 (mod. 11) und io 2m 1 (mod. 11) ift, 
N EE (a, + a 3 + a 5 + . . . ) + 10 (a.., + a 4 -f a 8 -f . . . ) (mod. 11) oder 
N — s, -{- ios» ‘'mod. 11) fein.